「有趣的数学」神奇的自然底数$e$ | Bill Yang's Blog

「有趣的数学」神奇的自然底数$e$

前言

有关于自然底数$e$的概念我们是在学习基本初等函数时了解的,可惜的是,高中教材并没有给我们详细的阐述有关$e$的概念与优美的性质,大家普遍只知道它是一个无理数。
于是我们常常听到这样的话:“常用底数不常用,自然底数不自然。”
那么为什么$10$被称为常用底数,$e$被称为自然底数呢?
不要急,请容我娓娓道来。

对数的发明

16、17世纪之交,天文学极速发展,但由于天文学数字总是非常大,计算起来很不方便,因此人们迫切的想要找到一种简化数字计算的方法。
天文学家约翰·纳皮尔为了简化运算发明了对数,最初的定义是通过运动学阐述的,后来与朋友布里格斯商定,使$1$的对数为$0$,$10$的对数为$1$,这样就得到了以$10$为底的常用对数。

我们发现,之所以称$10$为常用底数正是因为它被广泛运用到天文学中。

值得一提的是,我们都知道对数与指数是互逆关系,但对数比指数的发明更早,直到18世纪欧拉才发现了它们的互逆关系,这也成为了数学史上的佳话。

$e$的发现

我们介绍了对数的发明,那么自然底数是如何被发现的呢?神奇的是,自然底数的发现却与对数没有关系。
在17世纪末,瑞士数学家伯努利注意到了一个有趣的现象:当$x$越大时,$\Big(1+\frac1x\Big)^x$将会越接近某个固定的数:

18世纪欧拉(没错又是欧拉)仔细研究了这个问题,并第一次使用字母$e$来表示当$x$无穷大时$\Big(1+\frac1x\Big)^x$的值,即:

欧拉不仅求出了$e\approx2.718$,还证明了$e$是无理数。
那么$e$究竟有什么神奇的性质呢?

神奇的$e$

导数

在高二我们会学习到指数函数的导数。

即$e^x$的导数是他的本身。
正因为有这样的性质,故指数函数在我们现实世界中具有重要作用。
当我们涉及到一个量的变化与自身大小相关的问题时,就往往需要引入指数函数或对数函数。

连续复利公式

假设有一家银行,年利率是$5\%$,并且每时每刻都在结算利息。
如果我们存入$1w$元,下一年我们就可以获得$500$元的利息,但这并不是能让我们获得最大收益的方法。
我们可以半年后取出利息,再把本金和利息重新作为本金计算,这样我们下半年可以获得$(1w+250)\times2.5\%=256.25$元的利息,也就是说我们最后的总利息是$506.25$元。
如果我们一个季度取出一次利息,那么获得的利息会更多。
随着我们逐渐缩短我们存取的间隔,利益会越来越大,当我们将存取的间隔缩短到无穷小时,获得的利益最大,此时就是连续复利。
可惜的是,我们并不能通过这样的方式赚到很多的钱,因为缩短间隔过程中利息的增多是收敛的,而连续复利就是它们的极限。
那么我们究竟能赚到多少钱呢?
设本金是$p_0$,年利率是$i$,每年的结算期数是$m$(每年存取的次数)。

当$m\rightarrow\infty$时:

上述公式即是连续复利公式。
当年利率是$5\%$,我们通过连续复利可以得到的利息约为$512.7$元,可见增加的利益也并不可观。

$e^x$的泰勒展开

对$e^x$泰勒展开(/taylor-series-notes/),得到:

这个公式又被称为麦克劳林公式。

复分析下的欧拉公式

我们先来看看欧拉恒等式:

它是数学里最令人着迷的公式之一,它将数学里最重要的几个常数联系到了一起:两个超越数:自然底数$e$,圆周率$π$,两个单位:虚数单位$i$和自然数的单位$1$,以及数学里常见的$0$。因此,数学家们评价它是“上帝创造的公式,我们只能看它而不能理解它。”
欧拉恒等式是复分析下的欧拉公式的一个特例,欧拉公式如下:

当代入$x=\pi$时即得到欧拉恒等式。
我们在傅里叶变换中提到过这一个欧拉公式,它使我们可以通过函数的方式来描述一个复数。
现在要介绍的是欧拉公式的推导:
我们将麦克劳林公式中的$x$替换为$ix$,即可得到:

我们把不含$i$的放一边,含$i$的放在另一边,则可以得到:

我们称$e$为自然底数,正是因为它有这些神奇的性质,就像是自然创造出来的一个神奇常数。
也正是如此,$e$被广泛运用到数学和信息学之中,欢迎读者补充以上内容。

姥爷们赏瓶冰阔落吧~
0%