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「菜鸟的自我修养」线性代数笔记 | Bill Yang's Blog
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「菜鸟的自我修养」线性代数笔记

前言

本文记载了本菜鸟大学期间的线性代数笔记与总结(包括一些计算机延伸)。

本文中的部分结论不给证明,证明请参考教材。

一. 行列式

行列式的定义

为了方便地表示$n$元一次方程组的解,行列式诞生了。
如二元一次方程组:

其解可表示为:

以上解的分母部分相同,可将其表示为行列式:

分子部分也可以表示成行列式,原解可以转化为:

由上,二阶行列式的计算方法即为主对角线元素乘积减去反对角线元素乘积。
同理可以构造三元一次方程组并定义三阶行列式:

我们可以从中找到规律并得到$n$阶行列式的定义。
$n$阶行列式可以表示为$n!$个$n$项元素(不同行或不同列)相乘的代数和。
如何确定每一个乘积前面的正负号呢?
我们将这$n$个元素按照行数排序,观察它们的列数。
若列数组成的排列的逆序数(逆序对的个数)为奇数,则前面为负号,反之为正号。

定义:对于一个$n$行$n$列的矩阵,作和数$\sum\limits_{p_1p_2\cdots p_n}(-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}\cdots a_{np_n}$,这里的$p_1p_2\cdots p_n$是自然数$1,2,\cdots,n$的一个排列,$t$是这个排列的逆序数,共$P_n=n!$项求和,称上述和式为这个$n$行$n$列矩阵形成的$n$阶行列式,记为:

$n$阶行列式同样可以表示为$\sum\limits_{p_1p_2\cdots p_n}(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}\cdots a_{p_nn}$

特殊的行列式

对角行列式

除了对角线上的元其它元全为$0$的行列式。

反对角行列式

除了反对角线上的元其它元全为$0$的行列式。

三角形行列式

若行列式满足当$i\gt j$时,$a_{ij}=0$,则称行列式为上三角行列式
若行列式满足当$i\lt j$时,$a_{ij}=0$,则行列式称为下三角行列式
三角形行列式的值为对角线上元的乘积。

行列式的性质

转置

以对角线为对称轴,将行列式进行对称操作(行列互换,$a_{ij}\rightarrow a_{ji}$),转置后的行列式记作$D^{T}$,行列式值不变
需要注意的是,转置并不是倒置。

互换行列

互换行列式的两行或两列,行列式改变符号
需要注意的是,这里与矩阵不同,矩阵在互换后其含义不变,而行列式会改变符号。
由此性质可以推导出,若行列式有相同的行或列,其值为$0$。

数乘

行列式$D$的某一行或某一列都同乘一个数$k$后,行列式的值变为原来的$k$倍
需要注意的是,这里与矩阵的数乘不同,矩阵数乘后每一个元均数乘。
由此可以对行列式进行提取公因数。

分解

行列式若某一行或某一列的元都表示为两数之和,即可进行分解。

加成

把行列式的某一行或某一列的各元同乘一个数后加到另一行或另一列对应元上,行列式不变

行列式的展开

在$n$阶行列式$D=det(a_{ij})$中,把元$a_{ij}$所在的第$i$行与第$j$列划去,剩下元按原来的相对位置不变形成的一个$n-1$阶行列式称为$D$中元$a_{ij}$的余子式,记为$M_{ij}$,称$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$为$a_{ij}$的代数余子式

可以推导出:

以及类似分块矩阵的性质:

范德蒙德(Vandermonde)行列式

可以使用行列式的展开证明

手算行列式

三角化方法

通过行列式的性质将行列式化为三角形行列式,对角线乘积得解。

展开法

将某一行某一列尽可能化为$0$,利用行列式的展开计算低阶行列式。

递归法(数学归纳法)

找出$D_n$与低阶行列式间的关系,然后进行递归。

镶边法

给行列式加上一行和一列,构成$D_{n+1}$,保证$D_{n+1}=D_n$。
或给行列式加上一行和一列,构成范德蒙德行列式,利用待定系数法求解。

拆分法

利用行列式可分解的性质对行列式进行拆分。

使用计算机求行列式

使用定义计算

枚举每一个排列,计算逆序数与元乘积,时间复杂度为$O(n\cdot n!)$。

展开行列式计算

选中一行或一列,用其余行或列将其消至仅剩一个非零元,消去该元所在行列,变为$n-1$阶行列式递归计算。
较难单纯地用计算机实现,用计算机可以实现的最好方法同样也是下面一种方法。
理论时间复杂度为$O(n!^3)$(存疑)。

高斯消元

利用高斯消元,将行列式整理为三角形行列式或对角行列式,计算对角线的乘积即可。
时间复杂度$O(n^3)$。

姥爷们赏瓶冰阔落吧~