「bzoj4714」旋转排列 - 容斥原理+错排 | Bill Yang's Blog

「bzoj4714」旋转排列 - 容斥原理+错排

题目大意

    对于每个$k$,询问有多少个不带标号的置换,满足:

  1. 存在一个循环长度为$k$。
  2. 任意一个循环长度$\ge2$。

题目分析

枚举环的个数$t$。
设$g(t)$表示至少有$kt$个人分为$t$个长度为$k$的循环的方案数。
考虑第一个人和哪$k-1$个人组合在了一起,每种分配有$(k-1)!$种排列方案。

循环分好了过后,剩下的人重标号,不能分在自己编号的位置上,故这是一个错排计数,设$d(i)$为$i$个人错排的方案数。

至少有$t$个长度为$k$的循环方案数为:

因为不排除选出之外的有循环,故会计重,使用容斥原理处理一下即可。


代码

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline int Get_Int() {
int num=0,bj=1;
char x=getchar();
while(!isdigit(x)) {if(x=='-')bj=-1;x=getchar();}
while(isdigit(x)) {num=num*10+x-'0';x=getchar();}
return num*bj;
}
const int maxn=500005;
const LL mod=1e9+7;
int n;
LL fac[maxn],invf[maxn],d[maxn],g[maxn],ans=0;
void add(LL &x,LL v) {x+=v;if(x>=mod)x-=mod;}
LL Quick_Pow(LL a,LL b) {
LL ans=1;
for(; b; b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)ans=ans*a%mod;
return ans;
}
int main() {
n=Get_Int();
fac[0]=1;
for(int i=1; i<=n; i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
invf[n]=Quick_Pow(fac[n],mod-2);
for(int i=n; i>=1; i--)invf[i-1]=invf[i]*i%mod;
d[0]=d[2]=1;
for(int i=3; i<=n; i++)d[i]=(i-1)*(d[i-2]+d[i-1])%mod;
for(int i=2; i<=n; i++) {
g[0]=1;
for(int j=1; i*j<=n; j++) {
int k=i*j;
g[j]=g[j-1]*fac[k-1]%mod*invf[i-1]%mod*invf[k-i]%mod*fac[i-1]%mod;
LL tmp=fac[n]*invf[k]%mod*invf[n-k]%mod*g[j]%mod*d[n-k]%mod;
if(j&1)add(ans,tmp);
else add(ans,mod-tmp);
}
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
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