「bzoj4140」共点圆加强版 - 二进制分组维护凸包 | Bill Yang's Blog

「bzoj4140」共点圆加强版 - 二进制分组维护凸包

题目大意

    在平面直角坐标系中,Wayne需要你完成$n$次操作,操作只有两种:
        $1.\,0\,x\,y$。表示在坐标系中加入一个以$(x, y)$为圆心且过原点的圆。
        $2.\,1\,x\,y$。表示询问点$(x, y)$是否在所有已加入的圆的内部(含圆周),且至少在一个圆内部(含圆周)。
    为了减少你的工作量,题目保证圆心严格在$x$轴上方(纵坐标为正),且横坐标非零。
    强制在线。


题目分析

因为强制在线,我们没法用cdq分治解决本题。
使用论文上的方法:二进制分组。
类似$2048$游戏的规则,我们每加入一个修改点,将其建成一个大小为$1$的块,检查与前面的块的关系。

  • 若与前一个块大小相等,将前一个块与当前块合并。
  • 若与前一个块大小不等,维护新块中的凸包信息。

举例,若我们有$6$个修改点(数字代表修改点的编号),此时块的关系如下:

若我们加入第$7$个修改点,直接新建一个块:

若加入第$8$个修改点,先新建一个块:

发现最后两个块大小相等,合并:

发现最后两个块大小相等,合并:

发现最后两个块大小相等,合并:

此时仅有一个块,结束合并,重建新块中的凸包。

对于询问,我们在每个点中都询问一次,最后合并起来(取交)即为答案,具体细节后面再说,先考虑时间复杂度。


时间复杂度

不难发现,在添加第$k$个修改点的时候,我们会重建$lowbit(k)$个修改点将其合并成一个块。
设$f(i)$表示将长度为$i$的块重建所消耗的时间。

因此所有的插入造成的时间总和为$O(f(n)\log n)$。


实现与细节

我们要维护两个凸包,但根据半平面的方向,可以判断出使用上凸包还是下凸包。

令半平面$2x_0x+2y_0y\ge x_0^2+y_0^2$的$(x,y)$取$(0,0)$,得$x_0^2+y_0^2\le0$,恒不成立(忽略等号),故半平面始终不包含$(0,0)$。
移项得$2y_0y\ge -2x_0x+x_0^2+y_0^2$,故截距的正负取决于$y_0$的正负,因此当$y_0\lt 0$,截距小于零,半平面包含下半部分,求上凸包;截距大于零类似。

在询问的时候,如果直接对斜率进行二分,可能会出现半平面斜率不存在的情况,此时我们考虑使用点积二分找到临界点。

如何通过点积判断临界点。
代数法(by 红太阳xyj)

以上凸包举例:
如图,设凸包上一条红色斜率为$\frac{\delta y}{\delta x}$,半平面斜率为$-\frac{x_0}{y_0}$,故此时有:

分子部分是点积形式,此时$\delta x\gt 0,y_0\lt 0$,因此点积小于$0$时说明左端点应该向中间移动,否则移动右端点。
几何法(by Bill_Yang)

如图,蓝色的为半平面,绿色的为$(x_0,y_0)$向量,向量与半平面垂直。
如图,当点积变号时一定经过所求的端点。
如图,当点积$\lt 0$时说明左端点应该向中间移动,否则移动右端点。


代码

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#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<climits>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
inline const int Get_Int() {
int num=0,bj=1;
char x=getchar();
while(x<'0'||x>'9') {
if(x=='-')bj=-1;
x=getchar();
}
while(x>='0'&&x<='9') {
num=num*10+x-'0';
x=getchar();
}
return num*bj;
}
const double eps=1e-8;
const int maxn=500005;
int dcmp(double x) {
if(fabs(x)<eps)return 0;
return x>eps?1:-1;
}
struct Point {
double x,y;
Point(double _x=0,double _y=0):x(_x),y(_y) {}
Point operator - (const Point& b) {
return Point(b.x-x,b.y-y);
}
bool operator < (const Point& b) const {
return dcmp(x-b.x)<0||(dcmp(x-b.x)==0&&y<b.y);
}
} p[maxn];
typedef Point Vector;
double Cross(Vector a,Vector b) { //叉积
return a.x*b.y-b.x*a.y;
}
double Dot(Vector a,Vector b) { //点积
return a.x*b.x+a.y*b.y;
}
struct Group {
int Left,Right,size;
vector<Point>Up,Down;
Group(int l=0,int r=0):Left(l),Right(r),size(r-l+1) {
Up=Down=vector<Point>();
}
void Scan() {
for(int i=Right; i>=Left; i--) {
while(Down.size()>=2&&dcmp(Cross(Down[Down.size()-2]-Down.back(),Down[Down.size()-2]-p[i]))>=0)Down.pop_back();
Down.push_back(p[i]);
}
for(int i=Left; i<=Right; i++) {
while(Up.size()>=2&&dcmp(Cross(Up[Up.size()-2]-Up.back(),Up[Up.size()-2]-p[i]))>=0)Up.pop_back();
Up.push_back(p[i]);
}
if(!Up.empty())Up.push_back(Point(Up.back().x+eps,-INT_MAX));
if(!Down.empty())Down.push_back(Point(Down.back().x-eps,INT_MAX));
}
void build() {
sort(p+Left,p+Right+1);
Up.clear();
Down.clear();
Scan();
}
bool query(Point q) {
Point ans;
if(q.y<0) {
int left=0,right=Up.size()-2;
while(left<=right) {
int mid=(left+right)>>1;
if(dcmp(Dot(Up[mid]-Up[mid+1],q))>=0)right=mid-1;
else left=mid+1;
}
ans=Up[left];
} else {
int left=0,right=Down.size()-2;
while(left<=right) {
int mid=(left+right)>>1;
if(dcmp(Dot(Down[mid+1]-Down[mid],q))<=0)right=mid-1;
else left=mid+1;
}
ans=Down[left];
}
return dcmp(2*q.x*ans.x+2*q.y*ans.y-(q.x*q.x+q.y*q.y))>=0;
}
};
vector<Group>G;
int n=0,tot=0;
void insert(Point New) {
p[++n]=New;
G.push_back(Group(n,n));
while(G.size()>=2&&G.back().size==G[G.size()-2].size) {
G.pop_back();
G.back()=Group(G.back().Left,n);
}
G.back().build();
}
bool query(Point q) {
if(!n)return 0;
bool flag=1;
for(auto& g:G) {
flag=g.query(q);
if(!flag)break;
}
if(flag)tot++;
return flag;
}
int main() {
int t=Get_Int();
for(int i=1; i<=t; i++) {
int opt=Get_Int();
double x,y;
scanf("%lf%lf",&x,&y);
x+=tot,y+=tot;
if(!opt)insert(Point(x,y));
else puts(query(Point(x,y))?"Yes":"No");
}
return 0;
}
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