「bzoj3782」上学路线 - 容斥原理+CRT | Bill Yang's Blog

「bzoj3782」上学路线 - 容斥原理+CRT

题目大意

给出$N\times M$网格图,其中包含$T$个障碍点,询问从$(0,0)$走到$(n,m)$的最短路径条数,不能经过障碍点。
答案对$p$取模。
$1\le N,M\le 10^{10}\quad 0\le T\le 200\quad p=1000003,1019663265$


题目分析

这道题可以说是这两道题的结合版:怎样学习哲学古代猪文
如果您还没有学习过哲学,请先参考这里

如果说没有$p=1019663265$的这一种情况,那就和怎样学习哲学几乎一模一样了,只是将组合数部分从$C_m^n$改成了$C_{n+m}^{m}$。

如果$p=1019663265$,显然$p$不是一个素数,我们需要对其进行分解。
如果您还不会使用CRT解决多项式模非素数问题,请移步这里,然后尝试先做此题

分解$1019663265$得到$\lbrace 3,5,6793,10007 \rbrace$,分别使用Lucas定理求出模这些素数的组合数,利用中国剩余定理合并得到答案。


代码

有了前两题的基础,实现起来应该不太困难,就是代码有点长(毕竟分两种情况)。

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#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline const LL Get_Int() {
LL num=0,bj=1;
char x=getchar();
while(x<'0'||x>'9') {
if(x=='-')bj=-1;
x=getchar();
}
while(x>='0'&&x<='9') {
num=num*10+x-'0';
x=getchar();
}
return num*bj;
}
namespace Solve1 {
const LL mod=1000003;
LL F[mod+2],invF[mod+2];
LL Quick_Pow(LL a,LL b) {
LL ans=1;
while(b) {
if(b&1)ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
LL C(LL n,LL m) {
if(m>n)return 0;
return F[n]*invF[m]%mod*invF[n-m]%mod;
}
LL Lucas(LL n,LL m) {
if(!m)return 1;
return (C(n%mod,m%mod)*Lucas(n/mod,m/mod))%mod;
}
}
namespace Solve2 {
const LL mod[]= {0,3,5,6793,10007},Mod=1019663265;
LL F[11005][5],invF[11005][5];
LL Quick_Pow(LL a,LL b,LL mod=Mod) {
LL ans=1;
while(b) {
if(b&1)ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
b>>=1;
}
return ans;
}
LL C(LL n,LL m,int id) {
if(m>n)return 0;
return F[n][id]*invF[m][id]%mod[id]*invF[n-m][id]%mod[id];
}
LL Lucas(LL n,LL m,int id) {
if(!m)return 1;
return (C(n%mod[id],m%mod[id],id)*Lucas(n/mod[id],m/mod[id],id))%mod[id];
}
LL inv(LL a,LL mod) {
return Quick_Pow(a,mod-2,mod);
}
LL Crt(const LL* a) {
LL ans=0;
for(int i=1; i<=4; i++) {
LL M=Mod/mod[i];
ans=(ans+M*inv(M,mod[i])*a[i])%Mod;
}
return ans;
}
LL Solve(LL n,LL m) {
LL a[5];
for(int i=1; i<=4; i++)a[i]=Lucas(n,m,i);
return Crt(a);
}
}
LL n,m,p,f[205];
struct Point {
LL x,y;
bool operator < (const Point& b) const {
return x<b.x||(x==b.x&&y<b.y);
}
} a[205];
int main() {
n=Get_Int();
m=Get_Int();
p=Get_Int();
if(Get_Int()==1000003) {
using namespace Solve1;
F[0]=invF[0]=1;
for(int i=1; i<=mod; i++) {
F[i]=F[i-1]*i%mod;
invF[i]=Quick_Pow(F[i],mod-2);
}
for(int i=1; i<=p; i++) {
a[i].x=Get_Int();
a[i].y=Get_Int();
}
sort(a+1,a+p+1);
a[p+1].x=n,a[p+1].y=m;
for(int i=1; i<=p+1; i++) {
f[i]=Lucas(a[i].x+a[i].y,a[i].y);
for(int j=1; j<i; j++)
if(a[j].x<=a[i].x&&a[j].y<=a[i].y)f[i]=((f[i]-f[j]*Lucas(a[i].x-a[j].x+a[i].y-a[j].y,a[i].x-a[j].x)%mod)%mod+mod)%mod;
}
printf("%lld\n",f[p+1]);
} else {
using namespace Solve2;
for(int i=1; i<=4; i++) {
F[0][i]=invF[0][i]=1;
for(int j=1; j<=10010; j++) {
F[j][i]=F[j-1][i]*j%mod[i];
invF[j][i]=inv(F[j][i],mod[i]);
}
}
for(int i=1; i<=p; i++) {
a[i].x=Get_Int();
a[i].y=Get_Int();
}
sort(a+1,a+p+1);
a[p+1].x=n,a[p+1].y=m;
for(int i=1; i<=p+1; i++) {
f[i]=Solve(a[i].x+a[i].y,a[i].y);
for(int j=1; j<i; j++)
if(a[j].x<=a[i].x&&a[j].y<=a[i].y)f[i]=((f[i]-f[j]*Solve(a[i].x-a[j].x+a[i].y-a[j].y,a[i].x-a[j].x)%Mod)%Mod+Mod)%Mod;
}
printf("%lld\n",f[p+1]);
}
return 0;
}

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