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「bzoj3329」Xorequ - 数位动规 | Bill Yang's Blog

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「bzoj3329」Xorequ - 数位动规

题目大意

    给定正整数$n$,现有如下方程:$x\,xor\,3x=2x$,其中$xor$表示按位异或,给定正整数$n$,任务如下:
    1.求出小于等于$n$的正整数中,有多少个数是该方程的解;
    2.求出小于等于$2^n$的正整数中,有多少数是该方程的解,模$10^9+7$


题目分析

移项得$x\,xor\,2x=3x$,因为$x+2x=3x$,通过异或分析可以发现当且仅当这个数没有相邻的$1$时方程成立。
故可以数位动规统计第一问答案。

对于第二问,设$g(i,0/1)$表示第$i$位填$0/1$的合法方案数。
$g(i,0)=g(i-1,0)+g(i-1,1),g(i,1)=g(i-1,0)$
$\therefore g(i,0)=g(i-1,0)+g(i-2,0)$
斐波拉契数列,通过矩阵快速幂求出解。


代码

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#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;

typedef long long LL;

inline const LL Get_Int() {
LL num=0,bj=1;
char x=getchar();
while(x<'0'||x>'9') {
if(x=='-')bj=-1;
x=getchar();
}
while(x>='0'&&x<='9') {
num=num*10+x-'0';
x=getchar();
}
return num*bj;
}

typedef long long LL;

const int maxn=5;
const LL mod=1e9+7;

struct Matrix {
LL n,m,a[maxn][maxn];
Matrix(LL n,LL m) {
this->n=n;
this->m=m;
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=1; i<=n; i++)a[i][i]=1; //单位矩阵
}
LL* operator [] (const LL x) {
return a[x];
}
Matrix operator * (Matrix b) {
Matrix c(n,b.m);
memset(c.a,0,sizeof(c.a));
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=b.m; j++)
for(int k=1; k<=m; k++)
c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*b[k][j]%mod)%mod;
return c;
}
void operator *= (Matrix& b) {
*this=*this*b;
}
Matrix operator ^ (LL b) {
Matrix ans(n,m),a=*this;
while(b>0) {
if(b&1)ans=ans*a;
a*=a;
b>>=1;
}
return ans;
}
};

int a[65];
LL n,f[65][2];

LL Dp(int Now,bool last,bool up) {
if(Now<0)return 1;
if(!up&&~f[Now][last])return f[Now][last];
int Limit=up?a[Now]:1;
LL sum=0;
for(int i=0; i<=Limit; i++)
if(!(last&i))sum+=Dp(Now-1,i,up&&i==Limit);
if(!up)f[Now][last]=sum;
return sum;
}

LL Cal(LL x) {
int cnt=0;
while(x) {
a[cnt++]=x&1;
x>>=1;
}
return Dp(cnt-1,0,1);
}

int main() {
memset(f,-1,sizeof(f));
int t=Get_Int();
while(t--) {
n=Get_Int();
printf("%lld\n",Cal(n)-1);
Matrix A(1,2),B(2,2);
A[1][1]=A[1][2]=1;
B[1][1]=B[1][2]=B[2][1]=1;
B[2][2]=0;
A=A*(B^n);
printf("%lld\n",A[1][1]);
}
return 0;
}
姥爷们赏瓶冰阔落吧~