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「bsoj4596」幸运数字 - 欧拉函数 | Bill Yang's Blog

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「bsoj4596」幸运数字 - 欧拉函数

题目大意

    中国人最喜欢的数字是$6,8,9$。Bob也一样,他最喜欢的数字是$8$,Bob的幸运数字为能整除$L$的全$8$序列的最短长度,现在的任务就是找到Bob的幸运数字,如果不能找到,则输出$0$。
    如果$L=1$,则幸运数字应该是$1$,因为$8$只能整除$1$;同理,当$L=2$时,幸运数字同样是$1$。


题目分析

首先列出表达式:

也就是:

令$d=(8,9n)=(8,n)$,则:

因为$(\frac 8d,\frac{9n}d)=1$,令$t=\frac{9n}d$,所以:

根据欧拉定理,当$(len,t)\neq1$时无解,否则有一个可行解:$len=\varphi(t)$。

但$\varphi(t)$并不一定是最小解。
容易证明:最小解一定是$\varphi(t)$的约数。

因此枚举约数,在保证$10^{len}\equiv1\pmod t$成立的情况下使得$len$尽量小。


代码

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#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<climits>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;

typedef long long LL;

inline const LL Get_Int() {
LL num=0,bj=1;
char x=getchar();
while(x<'0'||x>'9') {
if(x=='-')bj=-1;
x=getchar();
}
while(x>='0'&&x<='9') {
num=num*10+x-'0';
x=getchar();
}
return num*bj;
}

LL Quick_Mul(LL a,LL b,LL p) {
LL tmp=(a*b-(LL)((long double)a/p*b+1e-8)*p);
if(tmp<0)return tmp+p;
else return tmp;
}

LL Quick_Pow(LL a,LL b,LL p) {
LL sum=1;
for(; b; b>>=1,a=Quick_Mul(a,a,p))if(b&1)sum=Quick_Mul(sum,a,p);
return sum;
}

LL Euler_Phi(LL n) {
LL ans=n;
for(LL i=2; i<=sqrt(n); i++)
if(n%i==0) {
ans-=ans/i;
while(n%i==0)n/=i;
}
if(n>1)ans-=ans/n;
return ans;
}

LL n;

int main() {
while(true) {
n=Get_Int();
if(n==0)break;
LL mod=9*n/__gcd(8ll,n);
if(__gcd(mod,10ll)!=1) {
puts("0");
continue;
}
LL len=Euler_Phi(mod),remain=len;
for(int i=2; i<=sqrt(len); i++)
if(len%i==0) {
while(remain%i==0)remain/=i;
while(len%i==0&&Quick_Pow(10,len/i,mod)==1)len/=i;
}
if(remain>1&&Quick_Pow(10,len/remain,mod)==1)len/=remain;
printf("%lld\n",len);
}
return 0;
}
姥爷们赏瓶冰阔落吧~