「bsoj3425」分班 - 动态规划+单调队列

题目大意

题目分析

根据题目我们可以写出状态转移方程：
设$f[i,j]$表示将前$j$个学生分到前$i$个班的最小评价指数。

$$f[i,j]=f[i-1,k]+(x[j]-x[k]+(j-k)\times ave^2-2(s[j]-s[k])ave)G[i]$$

其中$x[]$为平方前缀和，$s[]$为前缀和。

那么我们可以用$O(nm^2)$的时间完成，这显然要超时，考虑优化。

将上述式子化简，得到：

$$f[i,j]=f[i-1,k]+(x[j]+j\times ave^2-2ave\times s[j]-x[k]-k\times ave^2+2ave\times s[k])G[i]$$

发现$j$与$k$分离无影响，因为这是2D/1D的动规，故$i$可以在转移式中无视掉。

故我们将$-x[k]-k\times ave^2+2ave\times s[k]$记为$tmp[k]$，则式子化简为：

$$f[i,j]=f[i-1,k]+(x[j]+j\times ave^2-2ave\times s[j]+tmp[k])G[i]$$

我们可以事先求出$tmp[]$，然后采用单调队列优化该Dp方程。

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代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline const LL Get_Int() {
	LL num=0,bj=1;
	char x=getchar();
	while(x<'0'||x>'9') {
		if(x=='-')bj=-1;
		x=getchar();
	}
	while(x>='0'&&x<='9') {
		num=num*10+x-'0';
		x=getchar();
	}
	return num*bj;
}
LL t,n,m,A,B,x[10005],f[2][10005],g[2][10005],G[205],s[10005],tmp[10005],ave;
int main() {
	t=Get_Int();
	while(t--) {
		m=Get_Int();
		n=Get_Int();
		A=Get_Int();
		B=Get_Int();
		ave=0;
		for(int i=1; i<=m; i++) {
			LL tmp=Get_Int();
			x[i]=x[i-1]+tmp*tmp;
			s[i]=s[i-1]+tmp;
			ave+=tmp;
		}
		ave=ave/m;
		for(int i=1; i<=n; i++)G[i]=Get_Int();
		for(int j=0; j<=m; j++)f[0][j]=f[1][j]=1e17,tmp[j]=-x[j]-j*ave*ave+2*s[j]*ave;;
		f[0][0]=0;
		LL ans=1e17;
		int ansl,ans2;
		for(int i=1; i<=n; i++) {
			deque<int>Q;
			for(int j=i*A; j<=min(m,i*B); j++) {
				while(!Q.empty()&&Q.front()<j-B)Q.pop_front();
				while(!Q.empty()&&f[(i-1)&1][Q.back()]+tmp[Q.back()]*G[i]>=f[(i-1)&1][j-A]+tmp[j-A]*G[i])Q.pop_back();
				Q.push_back(j-A);
				if(!Q.empty())f[i&1][j]=f[(i-1)&1][Q.front()]+(tmp[Q.front()]+x[j]+j*ave*ave-2*s[j]*ave)*G[i],g[i&1][j]=j-Q.front();
			}
			if(f[i&1][m]<ans) {
				ans=f[i&1][m];
				ansl=i;
				ans2=g[i&1][m];
			}
		}
		printf("%lld %d %d\n",ans,ansl,ans2);
	}
	return 0;
}