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「ZJOI2013」防守战线 - 单纯形 | Bill Yang's Blog

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「ZJOI2013」防守战线 - 单纯形

题目大意

    战线可以看作一个长度为$n$的序列,现在需要在这个序列上建塔来防守敌兵,在序列第$i$号位置上建一座塔有$C_i$的花费,且一个位置可以建任意多的塔,费用累加计算。有$m$个区间$[L_1,R_1],[L_2,R_2],\ldots,[L_m,R_m]$,在第$i$个区间的范围内要建至少$D_i$座塔。求最少花费。


题目分析

先做bzoj3550
本题是上题的升级版,我们需要用到对偶原理。

什么是对偶原理?请见学习笔记。

本题的线性规划写成矩阵形式就是:

设$D$是原题中$D_i$构成的列向量,$C$是原题中$C_i$构成的行向量,$A$是系数矩阵。

最小化目标函数:$z=Cx$
满足约束:$Ax\ge D,x\ge0$
定义向量的$x\le y$表示对每一维都有$x_i\le y_i$。

我们需要将其转化为标准式:
最大化目标函数:$z=-Cx$
满足约束:$-Ax\le -D,x\ge0$

似乎可做了,但是注意到我们不能再将$x=0$作为初始解,因为不满足约束$-Ax\le -D$,此时可以用初始化$init$寻找初始解,但很麻烦,因此直接上对偶原理。

将原线性规划转化为:
最大化目标函数:$z=Dx’$
满足约束:$A^Tx’\le C,x’\ge0$

这样就可以做了。

图解:


代码

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#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<climits>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;

inline const int Get_Int() {
int num=0,bj=1;
char x=getchar();
while(x<'0'||x>'9') {
if(x=='-')bj=-1;
x=getchar();
}
while(x>='0'&&x<='9') {
num=num*10+x-'0';
x=getchar();
}
return num*bj;
}

const int maxn=1005,maxm=10005;
const double eps=1e-6;

int dcmp(double x) {
if(fabs(x)<=eps)return 0;
return x>eps?1:-1;
}

int n,m;

struct Simplex {
int n,m;
double a[maxn][maxm];
void init(int m,int n) { //a矩阵m行n列
this->n=m;
this->m=n;
}
void pivot(int in,int out) {
for(int i=0; i<=m; i++) //重置out约束
if(i!=in)a[out][i]/=-a[out][in];
a[out][in]=1/a[out][in];
for(int i=0; i<=n; i++) { //重新计算其他约束
if(i==out||dcmp(a[i][in])==0)continue;
double t=a[i][in];
a[i][in]=0;
for(int j=0; j<=m; j++)a[i][j]+=t*a[out][j];
}
}
double Solve() {
while(true) {
int in=0,out=0;
double Min=1e18;
for(int i=1; i<=m; i++)
if(dcmp(a[0][i])>0) {
in=i;
break;
}
if(!in)return a[0][0];
for(int i=1; i<=n; i++)
if(dcmp(a[i][in])<0&&a[i][0]/-a[i][in]<Min) {
Min=a[i][0]/-a[i][in];
out=i;
}
if(!out)throw ; //unbounded
pivot(in,out);
}
}
} fst;

int main() {
n=Get_Int();
m=Get_Int();
fst.init(n,m); //转置
for(int i=1; i<=n; i++)fst.a[i][0]=Get_Int();
for(int j=1; j<=m; j++) {
int l=Get_Int(),r=Get_Int();
for(int i=l; i<=r; i++)fst.a[i][j]=-1;
fst.a[0][j]=Get_Int();
}
printf("%d\n",int(fst.Solve()));
return 0;
}
姥爷们赏瓶冰阔落吧~