「NOIP2016」天天爱跑步 - 树上Hash表 | Bill Yang's Blog

「NOIP2016」天天爱跑步 - 树上Hash表

数据分析

首先这道题可以暴力。
暴力+部分数据骗分可以拿到75分,相当不错的分数。


初步想法

暴力既然超时,那么这道题一定有更优的解法。
尝试写出能够观察到玩家的结点具有的性质:
将路径拆成通过$lca$的两条链
①对于左链(即从开始结点$u$走到$lca$)

其中$D[i]$代表$i$结点的深度,$x$是路径上的点。
移项得:

故能够观察到的结点满足以上性质。
看到这个式子,左边是定值右边是非定值有没有什么想法?
②让我们再看看右链(即从$lca$走到结束结点$v$)

其中$len$是路径长度,对于边权为1的树可以表示为:$D[u]+D[v]-2D[lca]$
那么原式化简为:

这个式子同样左边是定值右边是非定值。
是不是有什么想法了?


数据结构

如果我们使用一个数据结构在树上遍历时动态维护这些定值,同时遍历时处理掉式子右边的非定值,不就可以实现与玩家数目无关的离线快速计算了吗?
这个数据结构是什么呢?
没错就是树上的Hash表。
在处理玩家时,我们在开始结点$u$与结束结点$v$打上添加标记,在$lca$处打上删除标记,然后打完标记后开始遍历。
遍历的时候如果遇到一个结点有添加标记就在Hash表中将它加入,然后对于这个结点统计答案,如果遇到删除标记就把它删除。


具体的来讲,每一个结点维护以下信息:

  • $LAdd[i][]$:$i$结点左链的添加数值
  • $LDel[i][]$:$i$结点左链的删除数值
  • $RAdd[i][]$:$i$结点右链的添加数值
  • $RDel[i][]$:$i$结点右链的删除数值

对于整棵树,维护两个Hash表

  • $Hash1[x]$:左链上数值为x的有多少个
  • $Hash2[x]$:右链上数值为x的有多少个

再看看图:

那么我们对于每一个新的玩家,拆成两条链后。
在开始结点处在$LAdd[u][]$中添加新的数值$D[u]$
在结束结点处在$RAdd[u][]$中添加新的数值$D[u]-2D[lca]$
在$lca$处在$LDel[lca][]$中添加新的数值$D[u]$
在$lca$处在$RDel[lca][]$中添加新的数值$D[u]-2D[lca]$
注意特殊处理只有左链和只有右链的情况。
还要注意如果左链右链都存在时$lca$会重复统计,所以如果$lca$满足条件,给其答案$Ans[lca]-1$


最后我们处理完了所有玩家,开始对树进行Dfs后序遍历。
第一次遍历我们处理左链。
对于每一个结点$x$,后序处理以下信息:
若$LAdd[x][]$中有值,将其所有值加入Hash表:$Hash[LAdd[x,i]]++$
然后统计答案:

接着若$LDel[x][]$中有值,将其所有值从Hash表中删除:$Hash[LDel[x,i]]—$

那么这样信息就维护完了。
注意细节,因为树有很多分支,所以前面分支中的Hash值尚未删除的可能影响其他分支。(可以自行推推样例1即可发现该问题)
故我们在先序遍历的时候先将这些其他的信息删掉,具体见代码。

同样的右链也类似,不再赘述。
另外此题结点树略多,建议写手工栈。


代码

未加入手工栈:

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#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
inline const int Get_Int() {
int num=0,bj=1;
char x=getchar();
while(x<'0'||x>'9') {
if(x=='-')bj=-1;
x=getchar();
}
while(x>='0'&&x<='9') {
num=num*10+x-'0';
x=getchar();
}
return num*bj;
}
const int maxn=300005;
int n,m,p[maxn][35],father[maxn],Depth[maxn],Ans[maxn],w[maxn],Hash[maxn*5];
vector<int>LAdd[maxn],LDel[maxn],RAdd[maxn],RDel[maxn];
vector<int>edges[maxn];
void AddEdge(int x,int y) {
edges[x].push_back(y);
}
void Sparse_Table() {
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=0; j<=log2(n); j++)p[i][j]=-1;
for(int i=1; i<=n; i++)p[i][0]=father[i];
for(int j=1; j<=log2(n); j++)
for(int i=1; i<=n; i++)
if(p[i][j-1]!=-1)p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];
}
int LCA(int a,int b) {
if(Depth[a]<Depth[b])swap(a,b);
int k=log2(Depth[a]);
for(int i=k; i>=0; i--) {
if(Depth[a]==Depth[b])break;
if(Depth[a]-(1<<i)>=Depth[b])a=p[a][i];
}
if(a==b)return b;
for(int i=k; i>=0; i--)
if(p[a][i]!=-1&&p[a][i]!=p[b][i]) {
a=p[a][i];
b=p[b][i];
}
return p[a][0];
}
void Dfs(int Now,int depth) {
Depth[Now]=depth;
for(int i=0; i<edges[Now].size(); i++) {
int Next=edges[Now][i];
if(Next==father[Now])continue;
father[Next]=Now;
Dfs(Next,depth+1);
}
}
void Query_Left(int Now) {
Ans[Now]-=Hash[Depth[Now]+w[Now]];
for(int i=0; i<edges[Now].size(); i++) {
int Next=edges[Now][i];
if(Next==father[Now])continue;
Query_Left(Next);
}
for(int i=0; i<LAdd[Now].size(); i++)Hash[LAdd[Now][i]]++;
Ans[Now]+=Hash[Depth[Now]+w[Now]];
for(int i=0; i<LDel[Now].size(); i++)Hash[LDel[Now][i]]--;
}
void Query_Right(int Now) {
Ans[Now]-=Hash[w[Now]-Depth[Now]+maxn*2];
for(int i=0; i<edges[Now].size(); i++) {
int Next=edges[Now][i];
if(Next==father[Now])continue;
Query_Right(Next);
}
for(int i=0; i<RAdd[Now].size(); i++)Hash[RAdd[Now][i]+maxn*2]++;
Ans[Now]+=Hash[w[Now]-Depth[Now]+maxn*2];
for(int i=0; i<RDel[Now].size(); i++)Hash[RDel[Now][i]+maxn*2]--;
}
int main() {
n=Get_Int();
m=Get_Int();
for(int i=1; i<n; i++) {
int x=Get_Int(),y=Get_Int();
AddEdge(x,y);
AddEdge(y,x);
}
father[1]=-1;
Dfs(1,1);
Sparse_Table();
for(int i=1; i<=n; i++)w[i]=Get_Int();
for(int i=1; i<=m; i++) {
int x=Get_Int(),y=Get_Int();
int lca=LCA(x,y);
if(y==lca) {
LAdd[x].push_back(Depth[x]);
LDel[y].push_back(Depth[x]);
} else if(x==lca) {
RAdd[y].push_back(Depth[x]-2*Depth[lca]);
RDel[x].push_back(Depth[x]-2*Depth[lca]);
} else {
LAdd[x].push_back(Depth[x]);
LDel[lca].push_back(Depth[x]);
RAdd[y].push_back(Depth[x]-2*Depth[lca]);
RDel[lca].push_back(Depth[x]-2*Depth[lca]);
if(Depth[lca]+w[lca]==Depth[x])Ans[lca]--;
}
}
Query_Left(1);
memset(Hash,0,sizeof(Hash));
Query_Right(1);
for(int i=1; i<=n; i++)printf("%d ",Ans[i]);
return 0;
}

加入手工栈:

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164
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
inline const int Get_Int() {
int num=0,bj=1;
char x=getchar();
while(x<'0'||x>'9') {
if(x=='-')bj=-1;
x=getchar();
}
while(x>='0'&&x<='9') {
num=num*10+x-'0';
x=getchar();
}
return num*bj;
}
const int maxn=300005;
int n,m,p[maxn][35],father[maxn],Depth[maxn],Ans[maxn],w[maxn],Hash[maxn*5];
vector<int>LAdd[maxn],LDel[maxn],RAdd[maxn],RDel[maxn];
int Head[maxn],cnt=0;
struct Edge {
int to,next;
} edges[maxn*2];
void AddEdge(int x,int y) {
cnt++;
edges[cnt].to=y;
edges[cnt].next=Head[x];
Head[x]=cnt;
}
void Sparse_Table() {
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=0; j<=log2(n); j++)p[i][j]=-1;
for(int i=1; i<=n; i++)p[i][0]=father[i];
for(int j=1; j<=log2(n); j++)
for(int i=1; i<=n; i++)
if(p[i][j-1]!=-1)p[i][j]=p[p[i][j-1]][j-1];
}
int LCA(int a,int b) {
if(Depth[a]<Depth[b])swap(a,b);
int k=log2(Depth[a]);
for(int i=k; i>=0; i--) {
if(Depth[a]==Depth[b])break;
if(Depth[a]-(1<<i)>=Depth[b])a=p[a][i];
}
if(a==b)return b;
for(int i=k; i>=0; i--)
if(p[a][i]!=-1&&p[a][i]!=p[b][i]) {
a=p[a][i];
b=p[b][i];
}
return p[a][0];
}
struct St {
int Now,i,depth;
} Stack[maxn*2];
int top=0;
void Dfs(int Now,int depth) {
int i,Next;
START1:
Depth[Now]=depth;
for(i=Head[Now]; i; i=edges[i].next) {
Next=edges[i].to;
if(Next==father[Now])continue;
father[Next]=Now;
Stack[++top]=(St) {
Now,i,depth
};
Now=Next;
depth++;
goto START1;
RET1:
Now=Stack[top].Now;
i=Stack[top].i;
depth=Stack[top].depth;
top--;
}
if(top)goto RET1;
}
void Query_Left(int Now) {
int i,Next;
START2:
Ans[Now]-=Hash[Depth[Now]+w[Now]];
for(i=Head[Now]; i; i=edges[i].next) {
Next=edges[i].to;
if(Next==father[Now])continue;
Stack[++top]=(St) {
Now,i,0
};
Now=Next;
goto START2;
RET2:
Now=Stack[top].Now;
i=Stack[top].i;
top--;
}
for(int i=0; i<LAdd[Now].size(); i++)Hash[LAdd[Now][i]]++;
Ans[Now]+=Hash[Depth[Now]+w[Now]];
for(int i=0; i<LDel[Now].size(); i++)Hash[LDel[Now][i]]--;
if(top)goto RET2;
}
void Query_Right(int Now) {
int i,Next;
START3:
Ans[Now]-=Hash[w[Now]-Depth[Now]+maxn*2];
for(i=Head[Now]; i; i=edges[i].next) {
Next=edges[i].to;
if(Next==father[Now])continue;
Stack[++top]=(St) {
Now,i,0
};
Now=Next;
goto START3;
RET3:
Now=Stack[top].Now;
i=Stack[top].i;
top--;
}
for(int i=0; i<RAdd[Now].size(); i++)Hash[RAdd[Now][i]+maxn*2]++;
Ans[Now]+=Hash[w[Now]-Depth[Now]+maxn*2];
for(int i=0; i<RDel[Now].size(); i++)Hash[RDel[Now][i]+maxn*2]--;
if(top)goto RET3;
}
int main() {
n=Get_Int();
m=Get_Int();
for(int i=1; i<n; i++) {
int x=Get_Int(),y=Get_Int();
AddEdge(x,y);
AddEdge(y,x);
}
father[1]=-1;
Dfs(1,1);
Sparse_Table();
for(int i=1; i<=n; i++)w[i]=Get_Int();
for(int i=1; i<=m; i++) {
int x=Get_Int(),y=Get_Int();
int lca=LCA(x,y);
if(y==lca) {
LAdd[x].push_back(Depth[x]);
LDel[y].push_back(Depth[x]);
} else if(x==lca) {
RAdd[y].push_back(Depth[x]-2*Depth[lca]);
RDel[x].push_back(Depth[x]-2*Depth[lca]);
} else {
LAdd[x].push_back(Depth[x]);
LDel[lca].push_back(Depth[x]);
RAdd[y].push_back(Depth[x]-2*Depth[lca]);
RDel[lca].push_back(Depth[x]-2*Depth[lca]);
if(Depth[lca]+w[lca]==Depth[x])Ans[lca]--;
}
}
Query_Left(1);
memset(Hash,0,sizeof(Hash));
Query_Right(1);
for(int i=1; i<=n; i++)printf("%d ",Ans[i]);
return 0;
}

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