「JLOI2014」镜面通道 - 最小割 | Bill Yang's Blog

「JLOI2014」镜面通道 - 最小割

理论储备

要做此题首先要将“光线”这种玄学玩意儿转化掉。
似乎有个物理上的定理,放在这道题上就是:水能过去,光就能过去
换句话说,只要管道从左到右存在一个通路,那么必定存在一条通路使得光线可以通过。


模型建立

有了上述理论储备,我们就可以对此题建立模型了。
此题已经存在一些相交或不相交的物件,要求去掉一些物件使得存在一条通路。
转化一下目标:
要求去掉一些物件使得上顶与下顶不再连通。
不再连通,这不就是割吗?
而题目要求最少拿走多少个物件,不就是最小割吗?
当然这道题不是割边,而是割点,故按照最小点割集的方法建模:
每一个物件拆成两个点,一个入点,一个出点。
每一个入点到出点连接一条容量为1的边。
如果两个物件相交,则分别将它们的出点与入点相连,容量无穷大。
然后跑一次Dinic即可。


模型举例

如图,样例的实物图如下:

建图如下:

显然,最小割为2。


代码

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#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
inline const int Get_Int() {
int num=0,bj=1;
char x=getchar();
while(x<'0'||x>'9') {
if(x=='-')bj=-1;
x=getchar();
}
while(x>='0'&&x<='9') {
num=num*10+x-'0';
x=getchar();
}
return num*bj;
}
//二倍+1出点 二倍入点
double eps=1e-8;
int dcmp(const double& x) {
if(fabs(x)<=eps)return 0;
if(x>eps)return 1;
return -1;
}
struct Point {
int x,y;
Point() {}
Point(int _x,int _y):x(_x),y(_y) {}
} C;
const int maxn=2005;
struct Thing { //矩形/圆
int bj; //1圆 2矩形
Point c;
int r;
Point LD,RU;
} a[maxn];
double Dist(const Point& a,const Point& b) {
return sqrt((double)(a.x-b.x)*(a.x-b.x)+(double)(a.y-b.y)*(a.y-b.y));
}
bool Check(Thing a,Thing b) { //a与b是否相交
int bj=a.bj+b.bj;
if(bj==2)return dcmp(Dist(a.c,b.c)-(a.r+b.r))<=0; //圆相交
if(bj==3) { //矩形a与圆b相交
if(a.bj==1)swap(a,b);
//与矩形四个点相交
if(dcmp(Dist(a.LD,b.c)-b.r)<=0)return 1;
if(dcmp(Dist(Point(a.LD.x,a.RU.y),b.c)-b.r)<=0)return 1;
if(dcmp(Dist(Point(a.RU.x,a.LD.y),b.c)-b.r)<=0)return 1;
if(dcmp(Dist(a.RU,b.c)-b.r)<=0)return 1;
//与矩形四条线相交
if(a.LD.x<=b.c.x&&a.RU.x>=b.c.x)
if(abs(b.c.y-a.LD.y)<=b.r||abs(b.c.y-a.RU.y)<=b.r)return 1;
if(a.LD.y<=b.c.y&&a.RU.y>=b.c.y)
if(abs(b.c.x-a.LD.x)<=b.r||abs(b.c.x-a.RU.x)<=b.r)return 1;
//在矩形中间
if(a.LD.x<=b.c.x&&a.RU.x>=b.c.x&&a.LD.y<=b.c.y&&a.RU.y>=b.c.y)return 1;
return 0;
}
if(bj==4) { //矩形a与矩形b相交
if(a.LD.x>b.RU.x||a.LD.y>b.RU.y||a.RU.x<b.LD.x||a.RU.y<b.LD.y)return 0;
return 1;
}
}
struct Edge {
int from,to,cap,flow;
};
struct Dinic {
int n,m,s,t;
vector<Edge>edges;
vector<int>G[maxn];
bool vst[maxn];
int dist[maxn],Current[maxn];
void init(int n) {
this->n=n;
edges.clear();
for(int i=1; i<=n; i++)G[i].clear();
}
void AddEdge(int from,int to,int cap) {
edges.push_back((Edge) {
from,to,cap,0
});
edges.push_back((Edge) {
to,from,0,0
});
m=edges.size();
G[from].push_back(m-2);
G[to].push_back(m-1);
}
bool Bfs() {
memset(vst,0,sizeof(vst));
memset(dist,0,sizeof(dist));
queue<int>Q;
Q.push(s);
dist[s]=0;
vst[s]=1;
while(!Q.empty()) {
int Now=Q.front();
Q.pop();
for(int i=0; i<G[Now].size(); i++) {
Edge& e=edges[G[Now][i]];
int Next=e.to;
if(!vst[Next]&&e.cap>e.flow) {
vst[Next]=1;
dist[Next]=dist[Now]+1;
Q.push(Next);
}
}
}
return vst[t];
}
int Dfs(int Now,int a) {
if(Now==t||a==0)return a;
int flow=0;
for(int& i=Current[Now]; i<G[Now].size(); i++) {
Edge& e=edges[G[Now][i]];
int Next=e.to;
if(dist[Now]+1!=dist[Next])continue;
int Nextflow=Dfs(Next,min(a,e.cap-e.flow));
if(Nextflow>0) {
e.flow+=Nextflow;
edges[G[Now][i]^1].flow-=Nextflow;
flow+=Nextflow;
a-=Nextflow;
if(a==0)break;
}
}
return flow;
}
int MaxFlow(int s,int t) {
this->s=s;
this->t=t;
int flow=0;
while(Bfs()) {
memset(Current,0,sizeof(Current));
flow+=Dfs(s,0x7fffffff/2);
}
return flow;
}
} dinic;
int n;
void AddEdge(int x,int y) {
dinic.AddEdge(x<<1|1,y<<1,0x7fffffff/2);
dinic.AddEdge(y<<1|1,x<<1,0x7fffffff/2);
}
int main() {
C.x=Get_Int();
C.y=Get_Int();
n=Get_Int();
int Start=1,End=(n+1)<<1;
a[0].bj=a[n+1].bj=2;
a[0].LD=Point(0,C.y);
a[0].RU=C;
a[n+1].LD=Point(0,0);
a[n+1].RU=Point(C.x,0);
for(int i=1; i<=n; i++) {
a[i].bj=Get_Int();
if(a[i].bj==1) {
a[i].c.x=Get_Int();
a[i].c.y=Get_Int();
a[i].r=Get_Int();
} else {
a[i].LD.x=Get_Int();
a[i].LD.y=Get_Int();
a[i].RU.x=Get_Int();
a[i].RU.y=Get_Int();
}
}
for(int i=0; i<=n+1; i++)
for(int j=i+1; j<=n+1; j++)
if(Check(a[i],a[j]))AddEdge(i,j);
for(int i=1; i<=n; i++)dinic.AddEdge(i<<1,i<<1|1,1);
printf("%d\n",dinic.MaxFlow(Start,End));
return 0;
}
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