「TJOI/HEOI2016」求和 - 指数型生成函数+斯特林数 | Bill Yang's Blog

「TJOI/HEOI2016」求和 - 指数型生成函数+斯特林数

题目大意

    在2016年,佳媛姐姐刚刚学习了第二类斯特林数,非常开心。

    现在他想计算这样一个函数的值:

    $S(i,j)$表示第二类斯特林数,递推公式为:$S(i,j)=j\cdot S(i-1,j)+S(i-1,j-1),1\le j\le i-1$。

    边界条件为:$S(i, i) = 1(0 \leq i), \ S(i, 0) = 0(1 \leq i)$

    你能帮帮她吗?


题目分析

这是一道很屌的题。
这里讲第一种解法,第二种解法请看下一篇

首先,使用${n \brace i}$表示斯特林数,组合意义为将$n$个不同元素划分到$i$个不带标号非空集合的方案数。

不带标号意味着不能记重,我们可以先计算带标号的方案数${n \brace i}’$,在除以$i!$得到${n \brace i}$。

使用容斥原理推导:
${n \brace i}’=$包含$\ge0$个空集合方案数$-\ge1$个空集合方案数(记重)$+\ge2$个空集合方案数(记重)$-\cdots$
也就是:

式子的意思是先选出$k$个空集合,再将$n$个元素任意分配到其他集合中,不保证分配后无空集合。

然后代入答案式计算:

出现了,指数型生成函数!
设$a(x)=\sum_i(-1)^i\frac{x^i}{i!},b(x)=\sum_i(\sum\limits_{j=0}^ni^j)\frac{x^i}{i!}$。
为了方便转移,令$a[0]=b[0]=1$。
直接NTT即可。


代码

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#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;

inline int Get_Int() {
int num=0,bj=1;
char x=getchar();
while(!isdigit(x)) {if(x=='-')bj=-1;x=getchar();}
while(isdigit(x)) {num=num*10+x-'0';x=getchar();}
return num*bj;
}

const int maxn=262144+5;
const LL mod=998244353,g=3;

LL Quick_Pow(LL a,LL b) {
LL sum=1;
for(; b; b>>=1,a=a*a%mod)if(b&1)sum=sum*a%mod;
return sum;
}

LL inv(LL x) {return Quick_Pow(x,mod-2);}

struct NumberTheoreticTransform {
int n,rev[maxn];
LL omega[maxn],iomega[maxn];
void init(int n) {
this->n=n;
int x=Quick_Pow(g,(mod-1)/n);
omega[0]=iomega[0]=1;
for(int i=1; i<n; i++)omega[i]=omega[i-1]*x%mod,iomega[i]=inv(omega[i]);
int k=log2(n);
for(int i=0; i<n; i++) {
int t=0;
for(int j=0; j<k; j++)if(i&(1<<j))t|=1<<(k-j-1);
rev[i]=t;
}
}
void transform(LL *a,LL *omega) {
for(int i=0; i<n; i++)if(i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int len=2; len<=n; len*=2) {
int mid=len>>1;
for(LL *p=a; p!=a+n; p+=len)
for(int i=0; i<mid; i++) {
LL t=omega[n/len*i]*p[mid+i]%mod;
p[mid+i]=(p[i]-t+mod)%mod;
p[i]=(p[i]+t)%mod;
}
}
}
void dft(LL *a) {transform(a,omega);}
void idft(LL *a) {
transform(a,iomega);
LL x=inv(n);
for(int i=0; i<n; i++)a[i]=a[i]*x%mod;
}
} ntt;

int n;
LL a[maxn],b[maxn],fac[maxn],invf[maxn];

int main() {
n=Get_Int();
int T=1;
while(T<=n)T<<=1;
fac[0]=1;
for(int i=1; i<=T; i++)fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
invf[T]=inv(fac[T]);
for(int i=T; i>=1; i--)invf[i-1]=invf[i]*i%mod;
a[0]=b[0]=1,b[1]=n+1;
for(int i=1; i<=n; i++) {
a[i]=((i&1?-1:1)*invf[i]+mod)%mod;
if(i>1)b[i]=inv(i-1)*(Quick_Pow(i,n+1)-1)%mod*invf[i]%mod;
}
T<<=1;
ntt.init(T);
ntt.dft(a),ntt.dft(b);
for(int i=0; i<T; i++)a[i]=a[i]*b[i]%mod;
ntt.idft(a);
LL ans=0;
for(int i=0; i<=n; i++)ans=(ans+Quick_Pow(2,i)*fac[i]%mod*a[i]%mod)%mod;
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
姥爷们赏瓶冰阔落吧~
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