「HAOI2015」树上染色 - 树上背包 | Bill Yang's Blog

「HAOI2015」树上染色 - 树上背包

初步想法

这题很明显是一个树形动规->树上背包问题。
对于路径长度的维护,有两个方向:


  • 维护点
    对于维护点我们可以列出状态:
    $f[i,j,0/1]$表示i的子树中分配j个黑点,其中i是黑点/白点的收益的最大值。
    $g[i,j,0/1]$表示黑/白点累加到根结点i的路径长度和。
    这样可以转移,但是非常麻烦,不好写,我调了很久都调不出来。
  • 维护边
    因为是两两之间维护路径的问题,我们可以考虑维护边。
    对于每一条边,计算它对答案的贡献:
    $f[i,j]$表示i的子树中有j个黑点对答案的贡献是多少。 注意树上背包的坑点:
    ①循环倒序
    ②边界处理
    $\quad j\in[0,min(Size[Now],K)]$
    $\quad k\in[0,min(Size[Next],j)]$
    $\quad j-k\le Size[Now]-Size[Next]$
    然后卡卡常数就可以过了。

代码

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#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline const LL Get_Int() {
LL num=0,bj=1;
char x=getchar();
while(x<'0'||x>'9') {
if(x=='-')bj=-1;
x=getchar();
}
while(x>='0'&&x<='9') {
num=num*10+x-'0';
x=getchar();
}
return num*bj;
}
const int maxn=2005;
struct Edge {
int from,to;
LL dist;
};
vector<Edge>edges[maxn];
int n,K,Size[maxn];
LL f[maxn][maxn];
void AddEdge(int x,int y,int v) {
edges[x].push_back((Edge) {
x,y,v
});
}
void TreeDp(int Now,int father) {
Size[Now]=1;
for(int i=0; i<edges[Now].size(); i++) {
Edge& e=edges[Now][i];
int Next=e.to;
if(Next==father)continue;
TreeDp(Next,Now);
Size[Now]+=Size[Next];
for(int j=min(Size[Now],K); j>=0; j--) //总分配j
for(int k=0; k<=min(Size[Next],j); k++) //给当前儿子分配k
if(j-k<=Size[Now]-Size[Next])f[Now][j]=max(f[Now][j],f[Now][j-k]+f[Next][k]+e.dist*((LL)k*(K-k)+(LL)(Size[Next]-k)*(n-K-(Size[Next]-k))));
}
}
int main() {
n=Get_Int();
K=Get_Int();
for(int i=1; i<n; i++) {
int x=Get_Int(),y=Get_Int();
LL v=Get_Int();
AddEdge(x,y,v);
AddEdge(y,x,v);
}
TreeDp(1,0);
printf("%lld\n",f[1][K]);
return 0;
}
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