「有趣的数学」神奇的自然底数$e$

前言

有关于自然底数$e$的概念我们是在学习基本初等函数时了解的，可惜的是，高中教材并没有给我们详细的阐述有关$e$的概念与优美的性质，大家普遍只知道它是一个无理数。
于是我们常常听到这样的话：“常用底数不常用，自然底数不自然。”
那么为什么$10$被称为常用底数，$e$被称为自然底数呢？
不要急，请容我娓娓道来。

对数的发明

16、17世纪之交，天文学极速发展，但由于天文学数字总是非常大，计算起来很不方便，因此人们迫切的想要找到一种简化数字计算的方法。
天文学家约翰·纳皮尔为了简化运算发明了对数，最初的定义是通过运动学阐述的，后来与朋友布里格斯商定，使$1$的对数为$0$，$10$的对数为$1$，这样就得到了以$10$为底的常用对数。

我们发现，之所以称$10$为常用底数正是因为它被广泛运用到天文学中。

值得一提的是，我们都知道对数与指数是互逆关系，但对数比指数的发明更早，直到18世纪欧拉才发现了它们的互逆关系，这也成为了数学史上的佳话。

$e$的发现

我们介绍了对数的发明，那么自然底数是如何被发现的呢？神奇的是，自然底数的发现却与对数没有关系。
在17世纪末，瑞士数学家伯努利注意到了一个有趣的现象：当$x$越大时，$\Big(1+\frac1x\Big)^x$将会越接近某个固定的数：

$$\Big(1+\frac1{100}\Big)^{100}\approx 2.70481$$ $$\Big(1+\frac1{1000}\Big)^{1000}\approx 2.71692$$ $$\Big(1+\frac1{10000}\Big)^{10000}\approx 2.71815$$

18世纪欧拉（没错又是欧拉）仔细研究了这个问题，并第一次使用字母$e$来表示当$x$无穷大时$\Big(1+\frac1x\Big)^x$的值，即：

$$\lim_{x\rightarrow\infty}\Big(1+\frac1x\Big)^x=e$$

欧拉不仅求出了$e\approx2.718$，还证明了$e$是无理数。
那么$e$究竟有什么神奇的性质呢？

神奇的$e$

导数

在高二我们会学习到指数函数的导数。

$$(e^x)'=e^x$$

即$e^x$的导数是他的本身。
正因为有这样的性质，故指数函数在我们现实世界中具有重要作用。
当我们涉及到一个量的变化与自身大小相关的问题时，就往往需要引入指数函数或对数函数。

连续复利公式

假设有一家银行，年利率是$5\%$，并且每时每刻都在结算利息。
如果我们存入$1w$元，下一年我们就可以获得$500$元的利息，但这并不是能让我们获得最大收益的方法。
我们可以半年后取出利息，再把本金和利息重新作为本金计算，这样我们下半年可以获得$(1w+250)\times2.5\%=256.25$元的利息，也就是说我们最后的总利息是$506.25$元。
如果我们一个季度取出一次利息，那么获得的利息会更多。
随着我们逐渐缩短我们存取的间隔，利益会越来越大，当我们将存取的间隔缩短到无穷小时，获得的利益最大，此时就是连续复利。
可惜的是，我们并不能通过这样的方式赚到很多的钱，因为缩短间隔过程中利息的增多是收敛的，而连续复利就是它们的极限。
那么我们究竟能赚到多少钱呢？
设本金是$p_0$，年利率是$i$，每年的结算期数是$m$（每年存取的次数）。

$$p_{nm}=p_0(1+\frac im)^{mn}$$

当$m\rightarrow\infty$时：

$$p_n=\lim_{m\rightarrow\infty}p_0(1+\frac im)^{mn}=p_0\lim_{m\rightarrow\infty}[(1+\frac im)^{\frac mi}]^{ni}=p_0e^{ni}$$

上述公式即是连续复利公式。
当年利率是$5\%$，我们通过连续复利可以得到的利息约为$512.7$元，可见增加的利益也并不可观。

$e^x$的泰勒展开

对$e^x$泰勒展开，得到：

$$e^x=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}$$

这个公式又被称为麦克劳林公式。

复分析下的欧拉公式

我们先来看看欧拉恒等式：

$$e^{i\pi}+1=0$$

它是数学里最令人着迷的公式之一，它将数学里最重要的几个常数联系到了一起：两个超越数：自然底数$e$，圆周率$π$，两个单位：虚数单位$i$和自然数的单位$1$，以及数学里常见的$0$。因此，数学家们评价它是“上帝创造的公式，我们只能看它而不能理解它。”
欧拉恒等式是复分析下的欧拉公式的一个特例，欧拉公式如下：

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

当代入$x=\pi$时即得到欧拉恒等式。
我们在傅里叶变换中提到过这一个欧拉公式，它使我们可以通过函数的方式来描述一个复数。
现在要介绍的是欧拉公式的推导：
我们将麦克劳林公式中的$x$替换为$ix$，即可得到：

$$\begin{aligned} e^x&=1+ix+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\cdots \\ &=1+ix-\frac{x^2}{2!}-\frac{ix^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots \end{aligned}$$

我们把不含$i$的放一边，含$i$的放在另一边，则可以得到：

$$\begin{aligned} e^x&=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots)+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots) \\ &=\cos x+i\sin x \end{aligned}$$

杨辉三角（摘自 Matrix67 的博客）

你相信吗，杨辉三角里竟然也有自然底数 e 的身影。2012 年， Harlan Brothers 发现了杨辉三角中的一个有趣的事实。不妨把杨辉三角第$n$行的所有数之积记作$s_n$，那么随着$n$的增加，$\frac{s_ns_{n+2}}{s_{n+1}^2}$会越来越接近$e\approx 2.718$。事实上，我们有：

$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{s_ns_{n+2}}{s_{n+1}^2}=e$$

这是为什么呢？ John Baez 在这个网页上给出了一个漂亮的解释。

首先，让杨辉三角 (A) 里面的每个数都除以它左下角的那个数，于是得到了图 (B) 所示的三角形数阵。你会发现，这个数阵里有一个很明显的模式，即第$n$行的所有数分母都是$n$，分子则分别是$n,n-1,\ldots,2,1$。这并不是巧合。这是因为：

$$\frac{C_m^k}{C_{m+1}^k}=\frac{\frac{m!}{k!(m-k)!}}{\frac{(m+1)!}{k!(m-k+1)!}}=\frac{m-k+1}{m+1}$$

接下来，让图 (B) 里的所有数都除以它右下角的那个数，于是得到了图 (C) 所示的三角形数阵。容易看出，这个数阵第$n$行的所有$n$个数应该都是$\frac{n+1}{n}=1+\frac1n$ ，它们乘起来等于$(1+\frac1n)^n$。随着$n$的增加，这个数会越来越接近$e$。最后，让我们追溯一下图 (C) 中每个数的来源。图 (C) 中第$n$行的每个数都等于图 (B) 中第$n$行的某个数除以第$n+1$行的某个数，进而等于图 (A) 中第$n$行的某个数除以第$n+1$行的某个数的结果，除以第$n+1$行的某个数除以第$n+2$行的某个数的结果。因此，图 (C) 中第$n$行的所有数乘起来，结果正是$\frac{s_ns_{n+2}}{s_{n+1}^2}$。

我们称$e$为自然底数，正是因为它有这些神奇的性质，就像是自然创造出来的一个神奇常数。
也正是如此，$e$被广泛运用到数学和信息学之中，欢迎读者补充以上内容。