「bsoj5092」计数题 - Kruskal+trie树

题目大意

给定一个长度为$n$的数组$a[]$，有一幅完全图，满足$(u,v)$的边权为$a[u]\,xor\,a[v]$。
求边权和最小的生成树，你需要输出边权和(不取模)还有方案数对1e9+7取模的值

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题目分析

本题有两个思路来源：

• 题目是求异或的最小生成树，求完全图最小生成树时间复杂度为$O(n^2)$，而$n\le100000$，说明此题必须要利用异或的性质。
  异或有些什么性质？
  • 交换律
  • 结合律
  • 消去律
  • 按位运算

• 很显然前三个性质对本题没有帮助，而题目也描述了$0\le a[i]\lt2^{30}$，很显然要运用到按位运算的性质。

• 我们可以利用最小生成树从下至上重构出树，我们也可以使用Kruskal重构树从上至下来求出最小生成树。
  怎么求呢？
  若是一般的最小生成树，是无法作出这个逆过程的，原因是我们从上至下就需要分割集合，但是并不了解如何分割集合，若任意分割集合，显然集合之间可能有$1$条以上的边。
  
  但是因为是权值异或的最小生成树，故我们可以按照某一位为$0/1$来划分集合。
  
  这样我们可以保证集合之间仅有一条边，因为若有两条边，把其他的边替换为集合内部的边可以使得权值最小（最高位为1必定更大）。

有了这两个思路，我们大概可以定出算法步骤。
首先按照最高位划分集合，然后选出连接两个集合的最小边，递归划分后的集合。

如何选出连接两个集合的最小边？也就是说在两个集合中分别选出两个点使得异或值最小。
这显然是使用trie树解决的问题，按照任意一个集合建立trie树，枚举另一个集合的点在trie树中查询最小边即可。

似乎还需要一点卡常的小技巧。

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代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline const LL Get_Int() {
	LL num=0,bj=1;
	char x=getchar();
	while(x<'0'||x>'9') {
		if(x=='-')bj=-1;
		x=getchar();
	}
	while(x>='0'&&x<='9') {
		num=num*10+x-'0';
		x=getchar();
	}
	return num*bj;
}
const int maxt=100005*30;
struct Tree {
	int child[2],cnt;
	void clear() {
		child[0]=child[1]=cnt=0; 
	} 
};
struct Trie {
	Tree tree[maxt];
	#define ch(x,i) tree[x].child[i]
	int cnt,root;
	void init() {
		cnt=0;
		tree[1].clear();
		root=++cnt;
	}
	void insert(int num) { 
		int x=root;
		for(int i=30; i>=0; i--) {
			bool y=num&(1<<i);
			if(ch(x,y)==0) {
				ch(x,y)=++cnt;
				tree[ch(x,y)].clear();
			}
			x=ch(x,y);
		}
		tree[x].cnt++;
	}
	pair<int,int>find(int num) {
		int x=root,ans=0;
		for(int i=30; i>=0; i--) {
			bool y=num&(1<<i),chose;
			if(ch(x,y))chose=y;
			else chose=!y;
			ans|=chose<<i;
			x=ch(x,chose);
		}
		return make_pair(ans^num,tree[x].cnt);
	}
} trie;
const int maxn=100005;
const LL mod=1e9+7;
LL n,a[maxn],l[maxn],r[maxn],ans=0,ans2=1;
LL Quick_Pow(LL a,LL b) {
	LL ans=1;
	while(b) {
		if(b&1)ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
void Binary(int Left,int Right,int depth) {
	if(Left>=Right)return;
	if(depth<0) {
		ans2=ans2*Quick_Pow(Right-Left+1,Right-Left-1)%mod;
		return;
	}
	int lpos=0,rpos=0;
	for(int i=Left; i<=Right; i++)
		if(a[i]&(1<<depth))l[++lpos]=a[i];
		else r[++rpos]=a[i];
	for(int i=1; i<=lpos; i++)a[Left+i-1]=l[i];
	for(int i=1; i<=rpos; i++)a[Left+lpos+i-1]=r[i];
	if(lpos&&rpos) {
		LL sum=0x7fffffff/2,cnt=0;
		trie.init();
		for(int i=1; i<=lpos; i++)trie.insert(l[i]);
		for(int i=1; i<=rpos; i++) {
			pair<int,int>tmp=trie.find(r[i]);
			if(tmp.first<sum) {
				sum=tmp.first;
				cnt=tmp.second;
			} else if(tmp.first==sum)cnt+=tmp.second;
		}
		ans+=sum;
		ans2=ans2*cnt%mod;
	}
	Binary(Left,Left+lpos-1,depth-1);
	Binary(Left+lpos,Right,depth-1);
}
int main() {
	n=Get_Int();
	for(int i=1; i<=n; i++)a[i]=Get_Int();
	Binary(1,n,30);
	printf("%lld\n%lld\n",ans,ans2);
	return 0;
}