「巴蜀中学NOIP2017模拟D4T2」遥远的金字塔 - 斜率优化

题目大意

---

题目分析

不难发现，我们一定不会竖着划分原图：

因此我们可以以行为阶段进行动规。
其实这道题动规的提示很明显，首先$80$分就是为暴力动规准备的，随便优化一下就变成了$100$分，且空间也刚好，并且$y_i-x_i$单调。

设$f[i,k]$表示前$i$行划分了$k$个的最大面积。

$$f[i,k]=\max_{j=0}^{i-1}\begin{cases} f[j,k-1]+(y[j+1]-x[j+1]+1)(i-j)\end{cases}$$

整理一下：

$$f[i,k]-i=(f[j,k-1]-jy[j+1]+jx[j+1]-j)+i(y[j+1]-x[j+1])$$

换元得到：

$$b=y-(-k)x$$

因为横坐标$x$，斜率$k$单调，因此直接上单调队列的斜率优化维护上凸包即可。

---

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline const LL Get_Int() {
	LL num=0,bj=1;
	char x=getchar();
	while(x<'0'||x>'9') {
		if(x=='-')bj=-1;
		x=getchar();
	}
	while(x>='0'&&x<='9') {
		num=num*10+x-'0';
		x=getchar();
	}
	return num*bj;
}
const int maxn=20005;
int n,K,Q[maxn];
LL x[maxn],y[maxn],f[maxn][105],ans=0;
double Slope(int j,int k,int con) {
	if(y[j+1]-x[j+1]==y[k+1]-x[k+1])return -1e18;
	return (double)(f[j][con]-j*y[j+1]+j*x[j+1]-j-(f[k][con]-k*y[k+1]+k*x[k+1]-k))/(y[j+1]-x[j+1]-(y[k+1]-x[k+1]));
}
int main() {
	n=Get_Int();
	K=Get_Int();
	for(int i=1; i<=n; i++) {
		x[i]=Get_Int();
		y[i]=Get_Int();
	}
	reverse(x+1,x+n+1);
	reverse(y+1,y+n+1);
	for(int k=1; k<=K; k++) {
		int Left=1,Right=1;
		Q[1]=0;
		for(int i=1; i<=n; i++) {
			while(Left<Right&&Slope(Q[Left],Q[Left+1],k-1)>=-i)Left++;
			int j=Q[Left];
			f[i][k]=f[j][k-1]+(y[j+1]-x[j+1]+1)*(i-j);
			ans=max(ans,f[i][k]); 
			while(Left<Right&&Slope(Q[Right-1],Q[Right],k-1)<=Slope(Q[Right],i,k-1))Right--;
			Q[++Right]=i;
		}
	}
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}