「SDOI2010」古代猪文 - 组合数取模+CRT

题目大意

远古时期猪王国有$n$个文字，现有的文字数量为远古时期的$\frac{1}{k}$（$k$是$n$的一个正约数），因为不知道是哪$\frac{1}{k}$，因此剩余的$\frac{n}{k}$有很多种情况，假设有$p$种情况，则研究这些文字的代价为$g^p$，求这个代价对 $999911659$取模后的结果。
$1\le n,g \le 10^9$

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题目分析

枚举$k$，$k$是$n$的正约数，令$k=d$，则答案为：

$$g^{\sum_{d\mid n}C_n^{\frac{n}{d}}}\,mod\,\,999911659$$

因为指数非常大，我们可以根据费马小定理对指数取模：

$$\sum_{d\mid n}C_n^{\frac{n}{d}}\,mod\,\,999911658$$

那么当前我们的任务转化为快速计算组合数。
分解$999911658$得到$\lbrace 2,3,4679,35617\rbrace$，分别使用Lucas定理求出模这些素数的组合数，利用中国剩余定理合并得到答案。

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代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;
typedef long long LL;
inline const LL Get_Int() {
	LL num=0,bj=1;
	char x=getchar();
	while(x<'0'||x>'9') {
		if(x=='-')bj=-1;
		x=getchar();
	}
	while(x>='0'&&x<='9') {
		num=num*10+x-'0';
		x=getchar();
	}
	return num*bj;
}
const LL mod[]= {0,2,3,4679,35617},Mod=999911659;
LL n,g,f[40005][5],invf[40005][5];
LL C(LL n,LL m,int id) {
	if(m>n)return 0;
	return f[n][id]*invf[m][id]%mod[id]*invf[n-m][id]%mod[id];
}
LL Lucas(LL n,LL m,int id) {
	if(!m)return 1;
	return (C(n%mod[id],m%mod[id],id)*Lucas(n/mod[id],m/mod[id],id))%mod[id];
}
LL Quick_Pow(LL a,LL b,LL mod=Mod) {
	LL ans=1;
	while(b) {
		if(b&1)ans=ans*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return ans;
}
LL inv(LL a,LL mod) {
	return Quick_Pow(a,mod-2,mod);
}
LL Crt(const LL* a) {
	LL ans=0;
	for(int i=1; i<=4; i++) {
		LL M=(Mod-1)/mod[i];
		ans=(ans+M*inv(M,mod[i])*a[i])%(Mod-1);
	}
	return ans;
}
LL Solve(LL d) {
	LL a[5];
	for(int i=1; i<=4; i++)a[i]=Lucas(n,n/d,i);
	LL ans=Crt(a);
	return ans;
}
int main() {
	for(int i=1; i<=4; i++) {
		f[0][i]=invf[0][i]=1;
		for(int j=1; j<=36000; j++) {
			f[j][i]=f[j-1][i]*j%mod[i];
			invf[j][i]=inv(f[j][i],mod[i]);
		} 
	}
	while(~scanf("%lld%lld",&n,&g)) {
		if(g%Mod==0) {
			puts("0");
			continue;
		}
		LL sum=0;
		for(LL d=1; d<=sqrt(n); d++)
			if(n%d==0) {
				sum=(sum+Solve(d))%(Mod-1);
				if(d!=n/d)sum=(sum+Solve(n/d))%(Mod-1);
			}
		LL ans=Quick_Pow(g,sum);
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}