「APIO2014」序列分割 - 斜率优化

题目大意

    小H最近迷上了一个分割序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为$N$的非负整数序列分割成$k+1$个非空的子序列。为了得到$k+1$个子序列，小H将重复进行$k$次以下的步骤：
1．小H首先选择一个长度超过$1$的序列（一开始小H只有一个长度为$n$的序列一一也就是一开始得到的整个序列）；
2．选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。
每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序 列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方案，使得$k$轮（次）之后，小H的总得分最大。

---

题目分析

此题较垃圾，卡空间卡常数（需要用FastIO且不能用除法，除法太慢）

$\because a(b+c)+bc=(a+b)c+ab$
$\therefore$分割的顺序对结果不造成影响，可以进行Dp

$f[i,j]$表示前$i$个数，分裂成了$j$个区间的最大总得分。

$$f[i,j]=\max\lbrace f[k,j-1]+(sum[i]-sum[k])*(sum[n]-sum[i])\rbrace$$

方程拆开后发现可以斜率优化，推一下式子发现斜率优化维护上凸包即可。
注意不能算斜率，因为分母可以为$0$且卡常数。
卡内存开滚动数组解决。

---

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<queue>
using namespace std;

typedef long long LL;

namespace FastIO {
	const int L=1<<15;
	char buf[L],*S,*T;
	char getchar() {
		if(S==T) {T=(S=buf)+fread(buf,1,L,stdin);if(S==T)return EOF;}
		return *S++;
	}
	LL Get_Int() {
		LL res=0,bj=1;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)) {if(c=='-')bj=-1;c=getchar();}
		while(isdigit(c)) {res=res*10+c-'0';c=getchar();}
		return res*bj;
	}
}
using FastIO::Get_Int;

const int maxn=100005,maxk=2;

int n,m,Q[maxn];
LL sum[maxn],f[maxn][maxk];

double Up(int i,int j,int con) {
	return (double)(f[j][con]-sum[j]*sum[n]-(f[i][con]-sum[i]*sum[n]));
}

LL Down(int i,int j) {
	return (sum[j]-sum[i]);
}

int main() {
	n=Get_Int();
	m=Get_Int()+1;
	for(int i=1; i<=n; i++)sum[i]=sum[i-1]+Get_Int();
	for(int j=1; j<=m; j++) {
		int Left=1,Right=1;
		Q[1]=0;
		f[0][j&1]=0;
		for(int i=1; i<=n; i++) {
			while(Left<Right&&Up(Q[Left],Q[Left+1],(j-1)&1)>=-sum[i]*Down(Q[Left],Q[Left+1]))Left++;
			int Front=Q[Left];
			f[i][j&1]=f[Front][(j-1)&1]+(sum[i]-sum[Front])*(sum[n]-sum[i]);
			while(Left<Right&&Up(Q[Right-1],Q[Right],(j-1)&1)*Down(Q[Right],i)<=Up(Q[Right],i,(j-1)&1)*Down(Q[Right-1],Q[Right]))Right--;
			Q[++Right]=i;
		}
	}
	printf("%lld\n",f[n][m&1]);
	return 0;
}